高中数学论文：运用几何画板开展“一题式”变式教学

1运用几何画板开展“一题式”变式教学例谈几何画板环境下对一道课本练习题的深层次探究摘要：信息技术在教学中的渗透，更新着我们的教学手段，革新了我们的教学理念，极大地丰富了中学数学的教学内容和形式。 几何画板是一款非常优秀的教育软件，它的动态演示功能能够启发学生的思维，引导学生一步一步探索未知的结论。运用几何画板对课 本上的习题展开变式探究，能够帮助学生更加有效地理解和掌握老师所教授的内容，从而摆脱那种一听就懂、一做就错的懵懂学习状态。本文就如何运用几何画板软件开展“一题式 ”变式教学方面作了一些思考和探索。关键词： 几何画板 信息技术 变式教学 一、问题的背景课本是学生学习的最佳蓝本。课本上的很多例题和习题都有很好的研究价值，如果能在做好一个习题的基础上，继续深入探究反思，充分挖掘其内涵，则往往有事半功倍的学习效果。蔡上鹤教授曾说过“教科书是由正文、例题和习题三部分有机组成的” ，这就是说数学课本中的习题是数学教材的重要组成部分，习题一方面起到了加深学生对知识的理解、复习并巩固的作用，另一方面也是培养学生能力的重要载体。纵观各地的中考、高考试题，甚至数学竞赛试题，都或多或少地出现了一些以课本习题为原型，又有所改变和创新的试题。这类试题一般都是在原例题或习题的基础上作适当地改编或延伸，从而能很好地考查学生的综合分析能力和创新能力。数学最大的魅力就在于“变” ，有“变”才有“用” ，有“变”才有“活” 。在巧妙的变式中，在错综复杂的变化中，展示知识的发生、发展，形成完整的认知过程，展示分析问题、解决问题的思维过程，培养学生探索问题、创新思考的能力。针对课本上的习题开展变式教学，沿着一条主线，精心设计问题链，师生2共同参与构建数学知识的活动，是笔者在教学中的一项尝试。变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的研究，以便于暴露问题的本质特征，揭示不同知识点之间的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使得一题多用、多题重组，能够极大的刺激学生的好奇心和求知欲，充分激发学生的参与热情，培养学生的创新思维。二、技术支持传统的课堂教学形态往往是一支粉笔一张嘴，在函数图像、轨迹问题、立体几何这些需要动态展示过程的重难点问题上，缺乏信息技术支持的数学课堂往往只能截取动态的变化过程中的几个特殊画面，一些变化过程只能用语言进行描述，老师讲得口干舌燥，学生听得一头雾水。老师头脑中的运动的观念如何传递到学生的头脑当中，并内化为学生思维的一部分呢？这就需要我们老师精心设计教学过程，以信息技术为媒介，生动的展示数学活动中的变化过程，实现动态与静态间的适时切换。俗话说的好，百闻不如一见，有些问题学生看看就明白了。高中数学中很多问题都在强调一个运动的观点，因而思考的过程中需要动态图形的支撑。美国的优秀教育软件几何画板 （The Geometers Sketchpad）正是能够满足这一要求的强大软件。 几何画板的最大特色就是动态性，能在运动状态下保持不变的几何关系，它是一个适用于教学和学习的工具软件平台。首先，借助于几何画板 ，可以创设情境，引起认知冲突，引发学习动机、激发学生的钻研精神；其次，有些教学内容可以让学生亲自操作、观察、分析、探究、发现数学规律，而不必再用“老师讲学生听”的教学方式进行。对于一些轨迹问题，我们可以运用几何画板的“追踪对象”功能作出轨迹，引导学生反思，深入分析，找出动点满足的几何条件，深入探索数学问题的本质，他们就懂得点的轨迹为什么是这样的图形，Seeing what you know，knowing what you see（知其然，并知其所以然） 。以下是笔者针对人民教育出版社(A 版)数学选修 2-1 第 73 面第 6 题展开的“一题式”变式探究，运用的工具是几何画板5.0。3三、探究过程原题为：如下图 1 所示，直线 2yx与抛物线 2yx相交于 A、 B两点， 求证： OAB。（图 1）证：222404yxyy，22211()(，1212(,),4()0OABxyxy，探究 1：解答完此题后，笔者总有一种意犹未尽的感觉，若将结论变为条件，即已知 OAB，那么直线 AB又有什么特征呢？因此，笔者运用几何画板作出图 2 展开探究。4（图 2）拖动 B点时，直线 OA、 B的斜率在发生动态变化，但是乘积始终为-1，如图 2 左上方度量的结果所示。仔细观察发现直线 AB一直在绕着一个定点(,0)旋转！这说明动直线 是恒过定点 (2,0)的。为了证实笔者的猜想，作如下计算：设直线 AB方程为 xmyb，22120yxybb，22211()()4yb，OAB21212(,), (2)0AOBxyxyb ，0b（舍）或 2b，因此，直线 恒过定点 (,0)。猜测变成了现实，能够在动态的图形中保持设定的几何或者代数关系不变，这就是几何画板最大的优点，从而能使得我们在纷繁复杂的图形变化中找到一些共性的东西。5探究 2：在探究 1 中，我们发现对于抛物线 2yx，垂直弦与抛物线的交点连线AB恒过 (,0)，若是换成任意抛物线 (0)p是否也会存在类似的性质呢？恒过的那个定点是否与 p有关呢？为了验证这个想法，笔者作出了图 3。（图 3）图 3 中，最左边的 p是设置的变量，可以上下滑动改变 p的值的大小，作用是控制抛物线 2(0)yx的开口大小。拖动 B继续观察，发现直线 AB依然是绕着 x轴上的某个点在转动。设这个点为 (,0)b，运用几何画板的度量功能，显示 .9b，刚好是变量 p的 2 倍！结合探究 1 得到的结论，有理由猜测2p，即恒过定点 (2,0)。计算如下： 22 12yxypmbypbb，22211()()4，OAB， 12(,),xy612xy2bp(2)b00（舍）或 ，因此，直线 AB恒过定点 (2,0)p。探究 3：探究 1 和探究 2 中，直角三角形的定点都固定在坐标原点，如果再大胆点放宽限制，以抛物线上任意一个点 0(,)Pxy为直角顶点的 PAB，直线 是否也恒过某个点呢？这个点的坐标是否与变量 p以及 点的坐标 0(,)xy有关系呢？（图 4）如图 4 所示，当 1.53p时，拖动 B点观察到，直线 AB绕着抛物线内的某个点旋转，因此我们可以断定，此类一般情形依然具备探究 1 和探究 2 中的类似性质。计算如下：设直线 AB方程为 xmyb，22 12120,yppypmypbxb，121212()()()ybb，212224pxpPAB 710200(,)(,)PABxyxy ，2 212011)200(bxpmbxpmy220 2ypx00()()xxy002bpmy或 0b（1）若 x，直线 AB方程为 0xmy，即 00()xmy，则直线 AB经过点 0(,)Py，这与 P、 、 构成直角三角形是矛盾的，故舍去；（2）若 2bxpm，直线 方程为 002xypy，即 00()()y，直线 AB恒过定点 (,)。推导出的这个定点坐标是否是正确的呢？让我们用几何画板进行验证。（图 5）8如图 5 中及时数据所示，此时，笔者度量出此时 P点的坐标 01.4x，02.7y，由此构造出 002,xpy的结果，以 02xp、 0y分别为横、纵坐标绘制点 Q，发现点 恰好是落在直线 AB上的。继续调整 的大小、 P点在抛物线上的不同位置、 B点在抛物线上的不同位置，发现图 5 中左边算式的值、右边图中点和线都在动态调整，但是点 Q始终是落在直线 AB上的。至此，我们可以肯定，直线 A恒过定点 00(2,)xpy。探究 4：在前面的探究中，具体的研究环境都是在抛物线中，抛物线是二次曲线，那么其他的二次曲线中是否也有这样类似的性质呢？最容易想到的自然是圆。如下图 6 所示，垂直弦 PA、 B与圆的交点为 A、 B，则 为直径，自然是恒过定点圆心 C的。（图 6）9接下来，我们针对椭圆中的这类情形展开探索。如下图 7 所示，该椭圆是运用椭圆的参数方程为原理制作的，右顶点 (,0)a和上顶点 (0,)b可以随意拖动，用来改变椭圆的形状。 P是椭圆上一点（可以随意改变位置） 。（图 7）拖动点 B的过程中，追踪 AB的轨迹，发现直线 AB是绕着一个点转动的，如上图 7 所示。计算如下：令椭圆为21(0)xyab令椭圆上一点为 0,P，过点 P作 AB,交椭圆于 1(,)Axy、 2(,)By令 AB所在直线为 ykxm（假设 所在直线的斜率存在）由斜率公式有： 10PAykx（此时 10x，即 PA不垂直于 x轴）20PB（此时 20，即 B不垂直于 轴）因 A，则有 1PAk即有 1020020()()xxyy即有 2120()y（I）10联立直线 AB与椭圆方程，消元得到 2222()()0bkaxmab，由韦达定理有 212kmaxb（II）212k（III）又 A、 B都在直线 A上,则有，1yxm2k两式相加并结合（II）得： 21212()mbykxka（IV）两式相乘并结合（II） （III）得： 2221112()bykxxka（V）将（II）（V）代入（I）有 2 222220 00 0()(1)()(1)xyakxmbbymkab注意到 P在椭圆上,则20即有22001xyab，201xa于是有 22220000()()kmymkx即有 00( )()xyxbymkx即有 2 20000()(akkykx因 P不在直线 AB上,则 xm所以有 220000()()kxybkx11整理得202()bakxym代入直线 AB得202()bakxy即有2200()()bayykx表明直线 AB过定点2200()(),bayb以下还需要验证两个特殊情形：（1）若直线 P与 有一条直线垂直于 x轴时,即 PAk或 B斜率不存在时,令 A垂直于 x轴,则 PB 平行于 轴由椭圆的对称性易知 0(,)Ay， 0(,)By由两点式有直线 B：即 00x 显然2200()()bayabx，即 AB过定点2200()(),abxayb（2）若直线 AB垂直于 轴,即 的斜率不存在,令直线 为 ()ma，代入椭圆方程，解得2(,)b、2,)bma注意到 AB的斜率不存在时， PA、 B的斜率一定存在20PAbamykx，20PBbyakxm由 1PABk得到220()1yx即 22220 0()()aybma而 在椭圆上，则有 0ybx12所以有 22200()()bxmax即 00)b又因为 PAB，则 x所以 220()()0abm，即20()abx显然此时 AB过定点2200()(,abxy同样，我们可以用图 7 中左上方度量出来的值，绘制点 Q，点 仍然落在直线动直线 上的。探究 5：双曲线中的构图情形如下：（图 8）运用探究 4 中类似的计算方法，我们可以得到动直线 AB恒过定点 Q2200()(),abxayb。13四、结束语著名的数学教育家波利亚曾这样形象的指出：一个好的问题同某种蘑菇有些相像，他们都成堆生长，找到一个以后，你应当在周围再找一找，很可能附近还有好几个。因此，解题教学中，由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，主动的克服思维定势，变中求进，进中求通，常常会给人以新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生参与教学的兴趣和热情，从而拓展学生的思维空间。本文开始提出的问题是一道常见的证明题，这里借助几何画板的“在动态中保持设定的几何关系不变”的软件特征深入探究了这道题目，另一方面，通过一题多变、发散思维，扩大到发现、归纳这类问题的共同特征，可以在教学中引导学生举一反三，迁移知识与方