高三数学“覆水难收”与“覆水可收”---数列探究

是个未知力量的牵引，让我们迷失或者是找到自己！高三数学“覆水难收”与“覆水可收”-数列探究学生成果展示（部分）： 刘巧一已知 为 前 项和，nSa .1,32,1 nnnn aSSa是 等 比 数 列 并 求求 证 ： 楚凯已知 为 前 项和，n .)()1()(, 22121 nnnaS是 等 比 数 列 并 求求 证 ： lg刘炅昊已知 为 前 项和，nSa,1 ！是 等 差 数 列 并 求证 明 ： nnnn aSanS 23,)23()(1321高文兴已知 为 前 项和，n ,1a ！是 等 差 数 列 并 求证 明 ： nnnnn aSS,13)(22刘奉已知 为 前 项和，nSa,21 ！是 等 比 数 列 并 求证 明 ： nnnna2,1刘哲已知 为 前 项和，n ,1 ！是 等 差 数 列 并 求证 明 ： nnn aSSlg,01991陈旭升已知 为 前 项和， nSa ,24,211ann ！是 等 比 数 列 并 求证 明 ： nn2管欣已知 为 前 项和， n ,)(, 1121 nnnaSS ！是 等 差 数 列 并 求证 明 ： nnaS姜鹏程已知 为 前 项和， 为 的前 项和，nSanT nnaT求),(2,11肖扬已知 为 前 项和，关于 x 的函数 在点（1,2）处的切线n )0,(,3)( *22 nnSNSaxf 时 ，1斜率为 4。（1）求 a.(2)若 等 差 数 列 ？使 得探 究 是 否 存 在过 RnaSf ,()1以上题目均为学生“创造”！如何“创造”的呢？是个未知力量的牵引，让我们迷失或者是找到自己！其实，这是在经过“覆水难收”课题（在本文后附）的研究后提出数学探究问题：“我们知道数列命题可以“轻松”出题并且是做题者陷入“万丈深渊”，好比你扔一根进大海针却叫人去找这根针！你能够自己编一道题使你的同位能够做出，但不要太简单也不要太难吗？”附：“覆水难收”- 数列探究刘红升 胶州实验中学 2010.10.19 晚数列命题与解题就好似倒一杯水与收回这杯水！（一）问题：“已知 中， ”na.,121nnSaS及求（法一）消“ ”： 以下略！n )23),2(,2 11 naS n（得 ：， 相 减 得 ：（法二）消“ ”： S 以 下 略 ！得 ：得 ： ,3,11 nnnnn“两个方向”均为“ 通法”！（二）揭秘：此题的“命题灵感” 为：由一个等比数列开始“ 若 ”由此将其形式向的 等 比 数 列 。， 公 比 为为 首 项 为 31nS“ ”关系的方向发展！其过程非常简单： 即： ！将此过程倒置就.nSa与 ,311 nnnSa得 ： nSa21编出了此题！体会：1，其实，命题过程与解题过程互逆！“命题灵感”来自“等差、等比”十分朴素、自然！考试说明对数列共 6 条要求其中 4 条指向“等差、等比”！而且另外两条均是了解！2，由此给我们提供了一种“创 新”方法， “创新意识”是考试说 明中两大意识之一！（三）探寻：既然“命题灵感” 如此朴素、简单、自然！我 们禁不住有“ 创造”的冲动！我们如果以 感 呢 ？的 等 差 数 列 为 命 题 灵， 公 差为 首 项 11“nS由“命题灵感”出发： ！1,11, 21 nnnnn SaaSSa整 理 得 ：的 方 向 发 展 ：与向一道新题诞生：“已知 中， ！”但是较难分析 ！na .),2(,21 nn及求 等 差 数 列n“是个未知力量的牵引，让我们迷失或者是找到自己！完善此题：“已知 中， ！”na .1),2(1,12 nnn aSSa为 等 差 数 列 再 求求 先 证 明 突然发现此题与 2008 山东理科 19 文科 20 题一样！2008 山东理科 19 文科 20： 为数列 的前 项和，且 满足 1banSnb21()nbS（）证明数列 成等差数列，并求数列 的通项公式； 原来高考题的命题如此简单、朴素、自然！1nn（四）对比：如果我们的“命题灵感”：“ ”！有灵感出发可得：的 等 比 数 列为 公 比 2)1lg(na )1lg(2)1lg(nnaa将此过程倒置就制造出“2006 山东高考.2,)(,)l()1lg( 112 nnnnn aaa 得 ：得 ：理科 22 题！”2006 山东理科 22：已知 ，点 在函数 的图象上，其中121(,)n2()fx,3（1）证明数列 是等比数列；lga如果我们的“命题灵感”：“ ”！有灵感出发可得：的 等 比 数 列为 公 比 211n 题 ！山 东 文 科此 过 程 倒 置 就 是就 可 得 ：若 我 们 命 其 为 等 差 ，得， 得 ：）（得 ： 2206!,43,2 ,1,11 1111 naa aaaan nnnnn 2006 山东文科 22：已知数列 中， 在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3.n112n、 点 （ 、 ）()令 是 等 比 数 列 ；求 证 数 列 bab,如果我们的“命题灵感”： “ 是等比数列！”得：n 52, ,1)2(,1)(,12)1(22 111 nSa SSan nnnn得 值 即 可 得 出 ：之 后 合 理 设 计 得 ：得得（2005 山东文理 21）已知数列 的首项 前 项和为 且n1,a,n *125().nN（I）证明数列 是等比数列；1n（五）总结：我们不难发现：依据简单、朴素、自然的“命题灵感”就可以制造很多复杂的数列题目，而且“命题过程”与“解题过程 ”是个未知力量的牵引，让我们迷失或者是找到自己！很可能“天壤之别”-如同“倒一杯水与收这杯水！”如果不提供“合理提示”（即命题灵感！）那么就会很有技巧！比如：如果我们以“ ”为灵感：的 等 差 数 列为 公 差 为 12nS nnnnnnn Sa )2()12)(2, 1111 整 理 得 ：我们可以想象将此过程倒置后“制造”的题目估计就算“提示”可能也很难处理！看来命题者可以轻松地使做题者陷入无底深渊！也许这就是“递推”不出现在考试说明的原因。但是 经过提示后此 类题目就成为考察“等差、等比 ”定义的题目，并不依赖递推技巧！类似的灵感很多：如又.12121,12 1 nnnnn aaa ， 得 ：”为 灵 感 知 ：的 等 差 数 列 ！为 公 差 为以可以变出这样的题目： 为 等 差 数 列 ？， 使 得是 否 存 在中