第二章控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型2.1 引言2.2 运动对象的微分方程2.3 线性微分方程的求解2.4 控制系统的复域数学模型2.5 控制系统的结构图2.6 信号流图和梅逊公式2.7 数学模型的实验测定动力系统的分析可归结为如下几步： 定义系统及其相关的组成部分； 对系统作必要的假设，建立该系统的数学模型； 根据所建立的数学模型写出微分方程； 求解微分方程，得出输出变量的表达式； 对所求得的解进行检验； 根据检验的结果，必要的时候进行重新分析； 建立控制系统数学模型的方法有以下两种： 分析法 实验法所建立的数学模型有如下几种表现形式： 时域表示法 复域表示法 频域表示法 列写系统数学模型的步骤可归纳如下 ： 分析系统及元部件的工作原理，从中确定系统的输入量和输出量； 根据所分析系统（或元部件）在工作过程中所遵循的物理、化学或其它相关规律，写出它们各自的微分方程； 根据所确定的系统输入量和输出量，消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式即为所求的数学模型 如下图所示为由 组成的四端无源网络。试列写以 为输入量， 为输出量的网络微分方程。 解： 设回路电流为 和 。根据克希霍夫定律可得如下方程： 其中： 可以求得 和 如下所示：通过计算可以得到以下的数学模型：线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下： 叠加性 当 时，上述方程的解为 ；而当 时，上述方程的解为 ，则当时，上述方程的解为 均匀性 假设 （ 为常数） ，则方程的解为 非线性元件微分方程的线性化 单变量的非线性系统 多变量的非线性函数 传递函数 定义 在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉氏变换的比值 计算方法设线性定常系统由下述 阶线性常微分方程描述： 性质 性质 1 传递函数是复变量 的有理真分式函数， ，且具有复变量函数的所有性质性质 2 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与外部输入形式（如幅值、大小等）无关 性质 3 传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但它不提供任何关于该系统的具体物理结构性质 4 当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根据其输出响应来研究系统的传递函数 性质 5 传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果将用 来 置换，则可将传递函数替换成微分方程 性质 6 传递函数 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 举例 根据前面介绍的 网络所得到的微分方程： 在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：系统的传递函数为：典型环节的传递函数 比例环节式中： 为增益；特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟； 实例：电子放大器、齿轮、感应式变送器等惯性环节式中： 为时间常数； 特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡；实例：液体加热系统和轮系结构等等微分环节理想微分： 一阶微分： 二阶微分： 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即属于微分环节 积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等均属于积分环节振荡环节式中： 为阻尼比 ； 为固有频率 ； 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出时会出现振荡实例： RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该环节 纯时间延迟环节式中： 为延迟时间； 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型一般均包含有延迟环节 结构图的基本组成方框（环节）（ Block Diagram） 表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积，即 ，如下图所示信号线 (Signal line) 信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图所示） 比较点（或综合点）（ Summing Point） 比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运算。 “+”表示相加， “-”表示相减。 “+”号可省略不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相减的量，必须具有相同的量刚 引出点（或测量点）（ Branch Point） 引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所示） 结构图的基本连接方式 串联连接 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量 简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积，即：并联连接 简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数之和，即：推而广之， 对 于 个环节并联，则简化后的等效传递函数为：反馈连接 负反馈连接 正反馈连接结构图的简化 引出点的移动 引出点前移 引出点后移比较点的移动 比较点前移 比较点后移信号流图的基本术语 信号流图示意图如下图所示：节点（ Node） 代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中的 1， 2， ， 6均为节点） 支路 （ Branch） 表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当于乘法器，如示意图中的 等均为支路，而数字 等为相应支路的增益 源节点 (Source Node) 在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点，如示意图中的 节点即为源节点 阱节点（ Sink Node） 在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意图中的 节点即为阱节点 混合节点（ Mixed Node） 在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中的 等节点就是混合节点 前向通路 (Forward Pass) 信号从源节点到阱节点传递时，每个节点只通过一次的通路，被称之为前向通路。前向通路上各支路增