概率论与数理统计魏宗舒版学习指导讲义

概率论与数理统计课外学习指导概 率 论 与 数 理 统 计课外自学指导第一章 事件与概率内 容 提 要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为 E.1） 试验可在相同的条件下重复进行；2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间 记为 ；试验的每一个可能结果，即 中的元素，称为样本点，记为 w.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为 ）和不可能事件（记为 ）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件 A发生必导致 B发生” ，记为 BA或 ；BA且 .（2）互不相容性： ； 、 互为对立事件 且 .（3）独立性：1）设 AB、 为事件，若有 )()(BPA，则称事件 A与 B相互独立. 等价于：若 )|()P( 0). 2）多个事件的独立：设 n,21 是 n 个事件，如果对任意的 )1(nk，任意概率论与数理统计课外学习指导的 niik21，具有等式 )()()( 2121 kk iiiii APAP ，称 n个事件 A, 相互独立3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件 与 B至少有一个发生” ，记为 BA.（2）积事件（交）：“ 事件 A与 同时发生” ，记为 或 .（3）差事件、对立事件(余事件 )：“事件发生 而 不发生” ，记为 称为 A与B的差事件； B称为 的对立事件；易知： .4、事件的运算法则1) 交换律： A， B；2) 结合律： C)()(， )()(BCA；3) 分配律： B， ；4) 对偶(De Morgan) 律： BA， ，可推广 kkkkA,5、概率的概念（1）概率的公理化定义： 设 是 一 个 样 本 空 间 ， 为 的 某 些 子 集 组 成F()APA的 一 个 事 件 域 .,定 义 在 上 的 一 个 集 值 函 数 满 足 :F.1()0;P） 非 负 性 ：21） 规 范 性 ： 23,A） 可 列 可 加 性 ： 设 是 可 列 个 互 不 相 容 事 件 ， 则11()()nnPA().PA则 称 为 事 件 的 概 率概率论与数理统计课外学习指导（2）频率的定义：事件 A在 n次重复试验中出现 An次，则比值 nA称为事件 在 n次重复试验中出现的频率，记为 )(fn，即fn)(.（3）统计概率： () .nkfAp频 率 具 有 稳 定 性 ， 即 随 的 增 大 越 来 越 靠 近 某 个 常 数称 为事件 A的（统计）概率.在实际问题中，当 很大时，取 ()()nPpfA（4）古典概率： 若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件 A发生的概率为：nAkP)()( 中 样 本 点 总 数中 所 含 样 本 点 数.（5 ）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域 g 的概率与区域 g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型） ， “在区域中随机地取一点落在区域 A中” 这一事件 A发生的概率为：()P的 测 度 的 测 度.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零： )(0.（2）有限可加性：设 nA,21 是 n 个两两互不相容的事件，即jiA ， （ ji） i,，则有 )(21nAP )(1P)()(2nP.（3）单调不减性：若事件 ,()BA则 ，且 ()PBPA.（4） 互逆性： ()1()P且 1.概率论与数理统计课外学习指导（5） 加法公式：对任意两事件 BA、 ，有 )(P)(BPA )；此性质可推广到任意 n个事件 n,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件 、 ，有 )()()，且(PABP7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设 、 是两个事件，即 、 F.，则)(|(APB称为事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率（2）乘法公式：设 、 ， F.且 ()0,(),则|)( BAPAP称为事件 BA、 的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设 n,21 是 的一个划分，且 0)(i，),2(ni，则对任何事件 BF.，有ni iiAP1)|()(称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设 n,21 是 的一个划分，且 0)(iAP),1(ni，则对任何事件 BF.，有 ),1(,)|)(|)|(1 njAPAPni iijjj 称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为 E 也叫做“成功失败”试验,“成功”的概率常用 )(APp表示，其中 “成功”.概率论与数理统计课外学习指导（2）把 E重复独立地进行 n次，所得的试验称为 n重贝努里试验，记为 nE（3）把 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为 以上三种贝努里试验统称为贝努里概型（4） nE中成功 k次的概率是： )0(,)1( nkqpCpCnkknkn 其中1(0)pq.疑 难 分 析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件 A与 B必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则 A、 B为互逆事件；如果两个事件 与 不能同时发生，则 A、 B为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件 A、 B独立，则 与 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时)()(P；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时 0)(,ABP.4、条件概率 )|(BA与积事件概率 )()P是在样本空间 内，事件 的概率，而 )|(是在试验 E增加了新条件B发生后的缩减的样本空间 B中计算事件 A的概率.虽然 、 B都发生，但两者是不同的，一般说来，当 A、 同时发生时，常用 )(P，而在有包含关系或明确的主从关系时，用 )|(P.如袋中有 9 个白球 1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，概率论与数理统计课外学习指导求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.例 题 解 析【例 1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：（1）掷一棵骰子，出现奇数点.（2）投掷一枚均匀硬币两次：1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.（3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍.（4）将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球.分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样本点是元素，事件则是包含在全集中的子集.解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现 1 点”这个样本点，其余类似.则样本空间为： =1，2，3，4，5，6，出现奇数点的事件为：1，3，5.（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为： =（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反），用 CBA、 分别表示上述事件 1）、2）、3），则事件A=（正,正）,（正,反）；事件 =（正,正），（反,反）；事件 C=（正,正）,（正,反）,（反,正）.（3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有 1642种可能，若用),(ji表示 “第一次取数 i，第二次取数 j”这一样本点，则样本空间为： = ),(ji概率论与数理统计课外学习指导)4,321,(ji；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）.(4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去共有九种结果.若用（甲、乙）表示“a 球放入甲盒，b 球放入乙盒”这一样本点，其余类似.则样本空间为： =（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）；第一个盒子中至少有一个球的事件为：（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）.【例 2】设 CBA、 为三个事件，用 CBA、 的运算关系表示下列各事件：（1）仅 发生； （2） 与 都发生，而 B不发生；（3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生；（7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生.分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件.解：（1） CBA；（2） ；（3） CBA或 ；（4） CBA或；（5） 或；（6） BCA或 BCA；（7） ；（8） .【例 3】把 n个不同的球随机地放入 )(nN个盒子中，求下列事件的概率：（1）某指定的 个盒子中各有一个球；（2）任意 个盒子中各有一个球；（3）指定的某个盒子中恰有 )(nm个球.分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有 N种放法， n个球共有 nN种不同的放法.“ 某指定的 n个盒子中各有一个球”概率论与数理统计课外学习指导相当于 n个球在 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在 N个盒子中选 n个盒子，再放球；（3）相当于先从 n个球中取 m个放入某指定的盒中，再把剩下的 m个球放入 N个盒中.解：样本空间中所含的样本点数为 nN.（1）该事件所含的样本点数是 !，故： np!；（2）在 N个盒子中选 n个盒子有nNC种选法，故所求事件的概率为：nCp!；（3）从 个球中取 m个有 n种选法，剩下的 mn个球中的每一个球都有 1N种放法，故所求事件的概率为： NCp)1(.【例 5】设事件 A与 B互不相容，且 qBPpA(,，求下列事件的概率：)(,),(),PP.分析：按概率的性质进行计算.解： A与 B互不相容，所以 AB， 0)(P；)(PqpP)(；由于 与 互不相容，这时 AB，从而(；由于 ，从而 )(1)(1)( qpBABA.【例 6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）.分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概率，所以是条件概率问题.根据公式 )(|(APB，必须求出 )(,APB.解：设 A=至少有一个女孩， =至少有一个男孩，则 =三个全是男孩，B=三个全是女孩，于是概率论与数理统计课外学习指导)(812)(3BPAP，事件 A为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因为B，且 ，所以 )(1)()( BP= 87)(1(,4381 APBAP，从而，在已知至少有一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为： 768)(|(AP.【例 7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据(表 1-1).表 1-1元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率.（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”，这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件 A的概率 )(P比较困难，而 )|(),iiBAP比较容易计算，且iB时，可考虑用全概率公式计算 .（2）为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算.概率论与数理统计课外学习指导解：设 A表示“取到的是一只次品”， )3,21(iB表示“所取到的产品是由第 i家工厂提供的”.易知， 321,B是样本空间 的一个划分，且有 )|(,0.)|(,05.)(8.0)(,5.0)( 211 BAPAPPB=|,.3A.（1）由全概率公式： 0125.)|()(31i iiBAPAP.（2）由贝叶斯公式： 12.0)|(,64.0)|(,24.0)(|)|( 311 APAPB.以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大.【例 8】一名工人照看 CB、 三台机床，已知在 1 小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为 7.0)(,8.)(,9.0)( PAP.求 1 小时内三台机床至多有一台需要照看的概率.分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算.解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照看的事件D可写成： CBACBA，则由加法公式与独立性性质得： )()() PP )() CPB)()( CBABA=0.902.【例 9】某车间有 10 台同类型的设备，每台设备的电动机功率为 10 千瓦.已知每台设备每小时实际开动 12 分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供电部门只能给车间提供 50 千瓦的电力.问该天这 10 台设备能正常运作的概率是多少？概率论与数理统计课外学习指导分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过 5 台”这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开动与不开动两种情况，所以本题可视为 10 重贝努里试验，可用二项概率公式进行求解.解：设 A表示事件“设备开动”， X表示“同时开动的设备数”，则由二项概率公式得：kkCXP105410)(，同时开动不超过 5 台的概率： 94.05 P；故该天这 10 台设备能正常运作的概率为 0.994.概率论与数理统计课外学习指导第二章 离散型随机变量内 容 提 要基本内容：离散型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，数学期望与方差，条件分布列，条件数学期望1、随机变量设 是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果 ，都有唯一的实数 )(X与之对应，则称 )(X为定义在 上的随机变量，简记为 X.随机变量通常用大写字母 ZY、 等表示. :,PRx设 (,)是 一 个 概 率 空 间 ， 若 ， 有F |(),xFX则 称 是 一 个 随 机 变 量 .2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量 只能取有限个或可列个可能值，则称 X为离散型随机变量.如果X的一切可能值为 ,21x，并且 X取 kx的概率为 kp，则称),321(Ppk为离散型随机变量 X的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为 12nxxpp 其中 ,0iip.3、常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1 分布）：记为 (1,)XBp，分布列为0,)1( kpkXP 或 0q概率论与数理统计课外学习指导（2）二项分布：记为 ),(pnBX，概率函数 10,1,1 pnkCkPnk （3）泊松分布，记为 )(，概率函数 0,10,! kekX泊松定理 设 0是一常数， n是任意正整数，设 np，则对于任一固定的非负整数 k，有 !)1(limkepCnknn .当 n很大且 p很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即 !)1(kepnkn其中 np（4）超几何分布：记为 ),(NMnHX，概率函数 ),min(,10, MkCkPnNk其中 MNn、 为正整数，且 ,.当 很大，且np较小时，有 knknnNkMpC)1(（5）几何分布：记为 )(pGX，概率函数 10,1,1 pkkP .4、随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布概率论与数理统计课外学习指导设 X为离散型随机变量，其分布列为(表 2-2)：表 2-21x 2 3x nx Pp p p 则 )(XgY任为离散型随机变量，其分布列为(表 2-3)：表 2-3 )(1xy)(2xgy )(3xgy )(nxgy Pp p p iy有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.疑 难 分 析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间 上，对试验的每一个可能结果 ，都有唯一的实数 )(X与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.【例 1】设 1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布.已知 1 小时内无人进入图书馆的概率为 0.01.求 1 小时内至少有 2 个读者进入图书馆的概率.分析：1 小时内进入图书馆的人数是一个随机变量 X，且 )(P.这样，0X表示在 1 小时内无人进入图书馆， 2表示在 1 小时内至少有 2 人进入图书馆.通过求参数 ，进一步，求 XP.解：设 为在 1 小时内进入图书馆的人数，则 )(PX，这时：,0,!kekXP已知 01.eP，故 10ln2.所求概率为：94)ln21(.12.概率论与数理统计课外学习指导【例 2】设 X的分布律为(表 2-6):表 2-61 2 3 4 5 6P46 1 8 2 1求XY2cos的分布律.分析： 是离散型随机变量， Y也是离散型随机变量.当 X取不同值时，将 Y那些取相等的值分别合并，并把相应的概率相加.从而得到 Y的分布律.解： X与 Y的对应关系如下表 2-7：表 2-71 2 3 4 5 6Y0 -1 0 1 0 -1P46 8 2 1由上表可知， 的取值只有-1 ，0，1 三种可能，由于 31621 XPY， 241354530 P，8141，所以，XY2cos的分布律为(表 2-8)：表 2-8Y-1 0 1P3124138概率论与数理统计课外学习指导多维随机变量及其分布1、二维随机变量及其联合分布函数 12(),()(,),nXXFP如 果 随 机 变 量 定 义 在 同 一 概 率 空 间 上 则 称12,n（ ） （为 n 维(n 元)随机变量或随机向量.当 =2时 ,称 为 二 维 随 机 变 量 ,常 记 为 (,).XY联合分布函数的定义 设 12,()n（ ） （ ） 是 维随机变量, ,nxR则 称 元 函 数1212(,),)n nFxPXxXx （为随机向量 ),(X（ ） （ 的联合分布函数2, ,n特 别 时 称 为 二 维 联 合 分 布 函 数 即(,)()FxyPXxYy二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性 ,是变量 或 的非减函数；（2）有界性 1)(0yx；（3）极限性 1),(0),(0), FFF， ， ，（3）连续性 )(yx关于 右连续，关于 y也右连续；（4）非负性 对任意点 ),(,21x，若 2121,yx，则 0)(,),(2 FyFyx.上式表示随机点 YX落在区域 2121YxX内的概率为：,21yxP.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量 ),(YX所有可能取值是有限对或可列对，则称 ),(YX为二维离散型随机变量.概率论与数理统计课外学习指导设 ),(YX为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为 ,21,)(jiyxji 将),21,(jipyxPijji 或表 3.1 称为 ,YX的联合分布列.表 3.1YX12y jy 1x2 ixp 1 jp1 212 j2 1ip2i ijp 联合分布列具有下列性质：（1） 0ij；（2）11ijij.5、二维随机变量的条件分布（了解）离散型随机变量的条件分布设 ),(YX为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为 ),21,(, jipyYPpxXPpyxP jjiiijji ，则当 j固定，且 0.jj时，称 ,21,| .ipyYPxyYx jjiji为 jyY条件下随机变量 X的条件分布律.同理，有 ,21,|.jpxyYPiij例 题 解 析【例 1】设一盒内有 2 件次品，3 件正品，进行有放回的抽取和无放回的抽取.设 X为第一次抽取所得次品个数， Y为第二次抽取所取得次品个数 .试分别求出两种抽取下：（1） ),(X的联合分布律；概率论与数理统计课外学习指导（2）二维随机变量 ),(YX的边缘分布律；（3） 与 是否相互独立.分析：求二维随机变量 ),(的边缘分布律,仅需求出概率 ,jYiXP.由二维随机变量 ),(YX的边缘分布律的定义，ijjjii pp,将联合分布律表中各列的概率相加，即得关于 X的边缘分布律；将联合分布律表中各行的概率相加，即得关于 Y的边缘分布律 .关于 与 Y是否相互独立问题可由二维离散型随机变量 X与 相互独立的充要条件来验证.解： 、 都服从 0-1 分布，分别记.10， 第 一 次 取 得 次 品， 第 一 次 取 得 正 品 ， .10， 第 二 次 取 得 次 品， 第 二 次 取 得 正 品 ，Y（1）在有放回抽样时，联合分布律为： ,2563,0,25930, XPYXP 416Y，可列成表，如表 3-1 所示.在不放回抽样时，联合分布律为： ,103425,0,134250, YXPYXP1，可列成表，如表 3-2 所示.表 3-1 表 3-2XY0 1XY0 1019/25 6/256/25 4/25013/10 3/103/10 1/10概率论与数理统计课外学习指导（2）在有放回抽样时，对表 3-1，按各列、各行相加，得关于 X、 Y的边缘分布律为表 3-3、表 3-4.在不放回抽样时，对表 3-2，按各列、各行相加，得关于 、 的边缘分布律为表 3-5、表 3-6.表 3-3 表 3-4X0 1 Y0 1.ip3/5 2/5 jp.3/5 2/5表 3-5 表 3-6X0 1 Y0 1.ip3/5 2/5 jp.3/5 2/5（3）在有放回抽样时，因为 ),(.ipjiij、 ，所以 X与 Y相互独立；在不放回抽样时，因为 102541. ，所以 X与 Y不相互独立 .随机变量的数学期望设离散型随机变量 X的分布列为 ,21,kpxXPk，如果级数1kpx绝对收敛，则称级数的和为随机变量 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设 C是常数，则 CE)(；（2）设 是常数，则 )(X；（3）若 21X、 是随机变量，则 )()2121XE；对任意 n个随机变量 n, ，有 )()()( 2121 nXEE；（4）若 X、 相互独立，则 (2；对任意 n个相互独立的随机变量 n,1 ，有 )()()( 221 nnXEE.概率论与数理统计课外学习指导2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量 X的分布律为 ,21,kpxXPk，则 X的函数)(gY的数学期望为,)()(1gxEkk，式中级数绝对收敛.3、随机变量的方差设 X是一个随机变量，则 )()()( 2XEXVarD称为 的方差.)(D称为 的标准差或均方差 .计算方差也常用公式 22)()E.方差具有如下性质：（1）设 C是常数，则 0)(D；（2）设 是常数，则 )(2XC；（3）若 21X、 相互独立，则 )()(2121XD；对任意 n个相互独立的随机变量 n, ，有 )()()()( 2121 nnXDD；（4） 0)X的充要条件是：存在常数 C，使 )(1XECP.4、几种常见分布的数学期望与方差（1） (,).,()1)BpEXp；（2） (nDnX；（3） )1(),)(.,( 2NnMNMH；（4） ().,()XPEX；（5） 2/)1(,/1.pDppG；5、矩设 X是随机变量，则 ,21),(kXEk称为 X的 k阶原点矩.概率论与数理统计课外学习指导如果 )(XE存在，则 ,21,)(kXEk称为 X的 k阶中心矩.设 ,Y是二维随机变量，则 lYlkl称为 ),(Y的 l阶混合原点矩； ,)()(klkl称为 的 k阶混合中心矩.6、二维随机变量的数字特征(1) ),(YX的数学期望 )(,),(YEXYE；若 ),(是离散型随机变量，则1ijijpx，1ijijpy.（2） ),(Y的方差 )(,),(YDY若 X是离散型随机变量，则 12)()(ij ijipXExD，12)()(ij ijipYEy.7、协方差与相关系数随机变量 ),(YX的协方差为 )()(),cov(XY.它是 1+1 阶混合中心矩，有计算公式： , YE.随机变量 ),(的相关系数为 DYXY),cov(.相关系数具有如下性质：（1） XY；（2） 存在常数 ba,，使 baYP=1，即 X与 Y以概率 1 线性相关；（3）若 Y,独立，则 0XY，即 ,不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设( X,Y)是二维随机变量,若 X 与 Y 的方差都存在,则 2CovD概率论与数理统计课外学习指导例 题 解 析【例 1】设随机变量 X的分布律为 ,10,)1/(kkXPk求)(XE和 D.分析：可直接按离散型随机变量的期望和方差的定义进行计算.解: 11201 )()/()/()( kkkkkXE；同理 )21()1()/()1/()( 2122 kkkkk，所以 )()()22XEXD.【例 2】设 n,21 是相互独立的随机变量，且 ,)(,)(2iiXDEni,.记 niinii XSX1221 )(,.证明（1） nDXE2)(,)(；（2） 2)(SE.分析：运用随机变量数字特征的某些性质及一定的技巧进行证明证明：（1） niiniiXEEX11)()(， nDnDiinii 22121)()( ；（2）概率论与数理统计课外学习指导 )()(1)( 22niiXES222121)()( nnnEnii.第三章 连续型随机变量内 容 提 要基本内容：随机随机变量，随机变量的分布函数及其性质，常见随机变量的分布，数字特征，条件分布1、随机变量 离 散 型 随 机 变 量 （ 可 能 取 值 至 多 可 列 ）随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 （ 可 能 取 值 充 满 某 个 区 间 ）奇 异 型 随 机 变 量2、分布函数及其性质分布函数的定义：设 X为随机变量， x为任意实数，函数 )()(xPF称为随机变量 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性 )(1)(0xx ；（2）单调性 如果 2，则 ()21F；（3）右连续， 即 ()(xF；（4）极限性 )lim,0lixx ；（5）完美性 )( 121221 xFxXPXP .3、连续型随机变量及其分布概率论与数理统计课外学习指导如果对于随机变量 X的分布函数 )(xF，存在非负函数 ()px，使对于任一实数 x，有xdtfF)()(，则称 为连续型随机变量.函数 称为 X的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1） ()0px； （2） ()1pxd；（3）211()xPXptd； （4） 01XP；（5）如果 ()在 处连续，则 ()Fpx.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为 ),(baUX，概率密度为1,()0xbpx其 它分布函数为 bxaxF,1,)(（2）指数分布：记为 ()XEp，概率密度为 ,0()exx其 它分布函数为 1,()0xF（3）正态分布：记为 ,2NX，概率密度为 2()1(),xpxeX，相应的分布函数为 xdteF2)(1)(当 1,0时，即 ,0NX时，称 X服从标准正态分布 .这时分别用 )(x和概率论与数理统计课外学习指导)(x表示 X的密度函数和分布函数，即 xtx deex221)(,1)( 具有性质： 1)(x.一般正态分布 ),(2NX的分布函数 )(xF与标准正态分布的分布函数 )(x有关系： )()x.4、随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布设 X为连续型随机变量，概率密度为 ()Xpx，则 )(gY的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若 )(xgy在 的取值区间内有连续导数 )(x，且 )(单调时，)(XgY是连续型随机变量，其概率密度为 其 它,0)()( yhyfyfXY.其中 )()(max,min hgg 是 xg的反函数.2）分布函数法：先求 )(的分布函数 kyxY dfXPyF)()()(然后求 ()Ypy.疑 难 分 析分布函数 )(xF的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯。有的书籍定义分布函数 )(xF左连续，但大多数书籍定义分布函数 )(x为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算 时， xX点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于 01xXP，故定义左连续或右连续没概率论与数理统计课外学习指导有什么区别；对于离散型随机变量，由于 01xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对 )(F定义左连续还是右连续.例 题 解 析【例 1】分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.（1）.0,1,2,)(xF （2）.,1,0sin,)(xxF （3） .21,)(xx 分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断.解：（1） )(xF在 ）（ ,上单调不减且右连续.同时， 1lim,0)(li xx.故 )(xF是随机变量的分布函数.有 )(xF的图形可知是阶梯形曲线，故 )(是离散型随机变量的分布函数；（2）由于 )(在,2上单调下降，故 )(xF不是随机变量的分布函数.但只要将 )(xF中的 改为 ， )(xF就满足单调不减右连续，且 1)(lim,0)(li xxx ，这时 就是随机变量的分布函数.由 )(x可求得 .20,cos)(xxFf 其 它 ，显然， )(xF是连续型随机变量的分布函数；（3） 在 ）（ ,上单调不减且右连续，且 1)(,0)(F，是随机变量的分布函数.但 )(x在 0和 21x处不可导，故不存在密度函数 )(xf，使得概率论与数理统计课外学习指导xxFdf)()(.同时， )(x的图形也不是阶梯形曲线，因而 )(xF既非连续型也非离散型随机变量的分布函数.【例 2】盒中装有大小相等的球 10 个，编号分别为 0、1、2、9.从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”、“等于 5”、“大于 5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.分析：“任取 1 球的号码”是随机变量，它随着试验