导数与微分(经典课件)

1、导数与微分引 言于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下：以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；讨论高阶导数、高阶微分以与参数方程所确定函数的求导法。可导与连续，可导与微分的关系。1导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。教学重点：导数的概念，几何意义与可导与连续的关系。教学难点：导数的概念。教学方法：讲授与练习。学习学时：3 学时。一、导数的定义

2、：引入（背景：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿在研究物理问题变速运动物体的 瞬时速度，德国数学家莱布尼兹究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。问题 1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为s s(t，若t 为某一确0定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。取临近于t0时刻的某一时刻t ，则质点在t0t或t0v s(t s(t0 ，t t当t 越接近于t0，平均速度就越接近于t00 limt t0s(

3、t) s(t )。0。t t0y f (x，求此曲线在点P(x , y 处的切线。00P 点的某点Q(x, yPQ k tan f (x) f (x )，0，x x0当Q 越接近于 P ，割线 PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率：k limx x0f (x) f (x ).0.x x0导数的定义：以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。f (x) f (x）定义 1设函数y f(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limxx0 x x00存在，则称函数f 在点x处0f x0f (x 0.dydxxxdydx定义1令x x x ，

4、y f (xx) f (x )，则上述定义又可表示为：000f (x ) lim y limf (x0 x) f (x )0.dydx0dydxx x0 x0 xx0 x即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。1f (x) x2 (1). f (x) f (1) lim x 2 1 lim(x 1) 2 ；x1x 1x1x1x1f x) f x2 )1或 f lim lim lim (x 2) 2。x0 xx2sin 1x0 x 0 x0例2已知函数f(x) x0 x 0 (0). (0) limf (x) f (0) lim x sin 1 0.x0

5、x 0 x0 x3f (x) x (0).f (x) f (0)解： 1x 0 ，limf (x) f (0)不存在xx0 x1x x0 x 0f (x) x x 0处不可导。3 x例 4已知函数 f (x) 3 x3 xf (x) f 3 x (0).3 x3 x解limx0 x 0limlim f (x) 3 x2x0 xx3 x2x 0处不可导。二、导数的几何意义：通过对引例 2 我们已经看到，已知曲线方程 y f (x) ，若 f (x) 在点 x0 可导，那么曲线 y f (x) 在点, f (x )00 (x ) 。0y f (x在点 f (x )f (xx 可导吗？（y x3 在

6、0 点。000y=f(x)f 0 f 0f 00切线方程（点斜式：y y 0 (x )(x x ) ；001法线方程（点斜式：y y 0f (x 0(x x ) 。0例 5求曲线 y x3 在点 P(1,1) 处切线与法线方程。dydxy x3 dydx解：limlimlim(x2 x3，x1xx1y 1 3(x 3x y 2 0；1法线方程：y1 (x，即：x3y40.13三、可导与连续的关系：5.1 f x f x 连续。00yy证明：f limy x lim lim x f (x) 0 0，0 x0 x0 xx0 xx00f x 连续（P69 最下式。0f x f x 不一定可导。00如

7、例3中，函数f(x) x 在点x 0连续，但是不可导。0yf (x) x0 x6f (x x2 D(xx0 0 处可导。为有理数其中D(x)为狄利克雷函数：D(x) 。为无理数证明当x 0时由归结原则可得函数f (x) x2D(x)在点x x 不连续所以由定理5.1 便知它在x x000处不可导；当x 0时，0 (0) x0f (x) f (0) x 0 limxD(x) 0 xx0 0 处可导；综上便知函数f (x) x2D(x)仅在点x 0处可导。0四、单则导数：若只研究函数在某一点x （左邻域（左极限，0于是我们引入单则导数的概念。定义：定义2 若函数f(x)在U(x )有定义，定义右导

8、数为：0f (x) limxx0f (x) f(x0 x x0) limf (x0 x0 x) f (x )；0；x若函数f(x)在U(x )有定义，定义左导数为：0f (x) limxx0f (x) f(x0 x x0) limf (x0 x0 x) f (x )0.x右导数和左导数统称为单则导数。左、右导数与导数之间有如下关系：5.2 f (xx 0(x ) a f (xx 即左可导又右可导，且00f (x) f (x) a.cosxx 0例7设函数f(x) ，讨论函数f(x)在点x 0处的左、右导数与导数。f (0 x) f (0)解：由于xxx 01cosxx1x 0，x 0 xx 2

9、 (0) lim1cosx lim2sin 22 limsin1 2 x 0，x0 xx0 xx02xf (0) lim221 1.x05.2 x 0处不可导。五、导函数：可导函数：若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数，则称f 为I 上的可导函数。导函数：I f ，对每一x I ，都有一个导数（或单则导数）Idfdyf I f (x x) f (x)(x),y,dxdx (x) limx0 xxI （x 看作固定常量即可。例求以下函数的导数（以下结果需熟记：常函数f(x)C（其中C为常数；f(xsinxf(xcosx；（3）对数函数f(x) logx(a 0,a x

10、0).a解（）Cf (x x)000，即：C 0 ；x0 xx0 x2cos(x x)sin x（）sinx limx0sin xf (x x) f (x)xlimx0sin(xx)sinx lim22x0 x lim2cos(xx) cosx ，x0 x22即：sinx cosx ；类似可求出：cosx sinx .f (x x)log(xx)log1x（3）loga limx0 limax0 xa limlogxx0 x)x1xx1limlogx0 x) xloge，xa即：logax 1logxe,ln x 1.x六、函数极值：极值定义：定义3若函数f 在点x 的某邻域U(x)内对一切x

11、U(x)有f (x)f(x)（f (x)f(x)，则称函数00000f x 取得极大（小）x 为极大（小）f (x 为极大（小）值，极大值000点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。xb xb x34a x x0 x12说明：极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一；极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；若 f x 取得最值，当x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当x 为区间内部的点时，则此最值一000定是极值。费马（Fermat）定理：从图象上可以看到，若点x f 的极值点，且点, f (x )处曲线的切线存在（f x

12、点0000可导，那么此切线应平行于x轴（(x ) 0 。从而有：05.3费马定理) x f f x 00 (x ) 0.0证明：这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。x f x U (x f (x ) f (x，于是，000f (x) f(x )f (x) f (x )当 x x 时：00 x x0 0 ；当 x x 时：00 x x0 0.由函数极限的保不等式性有：f (x) f(x )f (x) f (x )f (x) limxx00 x x0 0 (x) limxx00 x x0 0 ， x 5.2 0 (x ) 0。0说明：稳定点：称满足 f(x) 0的点x 为函数f的稳

13、定点（求法：解方程f(x) 0；00稳定点不一定是极值点（如函数y x3 ，点x 0为稳定点但不是极值点；极值点不一定是稳定点只有加上可导条件极值点才是稳定（如函数 f (x) x点x 0为极值点但不是稳定点。y yy x3 y x0 x 0 x达布（Darboux）定理：5.4 () f 在 (a) f (b) k (a) 与yf (a) (b)f (b) 之间的任一实数，则至少存在一点 a, b，使得 f ( ) k.a 0 b x证明 (a) f (b (b) k (a) （此处介于指不等式严格成立）F (x) f (x kxx b f (x在5.1 f (x) 在F (x在b上连续，

14、F F (x) 在b上的最大值， 欲利用费马定理来证F () 0 ，需证以下两个方面：（） F(x在上的极大值，只需证 a 且 b ；（）F(xx 可导；F (a) F(x)F(a) f (x) kx f (a) kaxa xaxax a limf (x) f (a) k(x a) f (x) f (a) lim k f (a) k 0(1)xax aF(x)Fxax af (x) kx xaf (b) kb同理：F (b) lim limxb xbxbx b limf (x) f (b) k(x limf (x) f (b) lim k f (b) k 0(2)xbx bxbx xbF (x) limF(xx)F(x) limf(xx)k(xx) f (x) kx x0 x