第五章 超静定结构的内力和位移计算

1、5-3 对称性的利用,简化的主要目标,使尽可能多的副系数和自由项为零,5.3.1选取对称的基本体系,对称的含义,1、结构的几何形状和支座情况对称,2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称,荷载的对称,正对称、反对称,荷载的正对称,荷载的正对称,多余未知力X1= X2=0,多余未知力X3=0,对称结构在正 对称荷载作用下，如果所取的基本是对称结构，则反 对称未知力必等于零，只需要计算正 对称未知力，最后结构的内力图和位移图都是正 对称的,结论,反,正,反,反,5.3.2未知力和荷载分组,任意荷载均可以分解为正、反对称的两组，将它们分别作用于结构上求解，然后将计算结果叠加,结论,5.3.3半边结

2、构取法,奇数跨对称刚架,偶数跨对称刚架,利用对称性简化计算的要点如下,1）选用对称的基本结构，选用正对称力或反对称未知力作为基本未知量； 2）在正对称荷载作用下，只需求解正对称的未知力（反对称未知力为零）； 3）在反对称荷载作用下，只需求解反对陈的未知力（正对称未知力为零）； 4）非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载,例题5-10 用力法a刚架的M图，EI=常数,结论：即对称结构在正对称节点荷载作用下，该结构的M图一定为零,例题5-11 试计算图5.41a所示连续梁，梁的EI=常数,5-4 弹性中心法,刚臂,1）可用直杆的位移计算公式来求系数和自由项,注,2）当拱轴方程及截面变化规律比较复杂

3、时，积分法计算很困难，工程上可采用数值积分法，即总和法,5-5 力矩分配法,力法,位移法,联立求解典型方程,直接解法,渐进法,数学对方程组采取渐进解法,受力状态渐进,渐进法,不建立方程组的渐近解法有,1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架,2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架,3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架,5.5.1概念,1、劲度系数（转动刚度,当杆件AB的A端转动单位转角时，A端（近端）的杆端弯矩,2、传递系数,B端弯矩与A端弯矩的比值,5.5.2力矩分配法的基本原理,不平衡力矩,各近端的杆端弯矩,分配系数,各远端的杆端弯矩,传递系数,分配弯矩,传递弯矩,近端固端弯矩+分配

4、弯矩,远端固端弯矩 + 传递弯矩,力矩分配法的原理,1）固定结点,2）放松结点,加入刚臂，各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担,取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远端进行传递，各远端得到传递弯矩,例题5-12作刚架的弯矩图,力矩分配法的计算步骤,1）计算各杆端的分配系数,2）计算固端弯矩,3）进行力矩的分配和传递,4）计算杆端最后弯矩,适用范围,连续梁和无侧移的刚架,5.5.3多结点力矩分配法,原理与单节点相同,1）固

5、定结点,2）放松结点,为加快收敛,采取轮流放松的方式,1）采取间隔放松方式,2）从不平衡力矩最大的结点开始放松,2021/3/21,22,C,B,例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁,0.4,0.6,0.667,0.333,m,60,60,100,100,分配与传递,33.3,66.7,33.4,29.4,44,22,14.7,14.7,7.3,7.3,4.4,2.9,2.2,1.5,0.7,0.7,0.3,0.4,1.5,0.2,43.6,92.6,92.6,41.3,41.3,Mij,0,43.6,92.6,133.1,41.3,21.9,M图（kNm,23,1）单结点力矩分配法得到精确解

6、；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算,结点不平衡力矩,第一轮第一结点,固端弯矩之和,第一轮第二、三结点,固端弯矩之和 加传递弯矩,传递弯矩,其它轮次各结点,总等于附加刚臂上的约束力矩,5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度,力矩分配法小结,2021/3/21,24,0.222,1,1,1,B,C,mBA= 40kNm,mBC= - 41.7kNm,mCB= 41.7kNm,0.3,0.4,0.3,0.445,0.333,40,4

7、1.7,41.7,18.5,9.3,13.9,9.3,3.3,3.3,4.4,2.2,1.0,0.5,0.7,0.5,0.15,0.15,0.2,4.65,1.65,0.25,0.07,43.45,3.45,46.9,24.4,9.8,14.6,1.72,4.90,M图,例2,5-6 超静定结构的位移计算和 最后内力图的校核,5.6.1超静定结构位移计算,原理,与静定结构计算方式相同,图乘法,K,求K点的竖向位移,求原结构位移的问题就归结为求基本体系这个静定结构的位移,可任选一种基本结构来求虚拟状态的内力，通常选择虚拟内力图较简单或者图乘比较方便的基本结构,1）荷载作用,对于受弯构件，若不考虑轴向变形和剪切变形的影响,可以任一基本结构在单位力作用下的弯矩图,2）支座移动,由内力而产生的弹性变形所引起的位移,由于支座移动所引起的位移,3）温度变化,由内力而产生的弹性变形所引起的位移,由于温度变化所引起的位移,例题5-15 求单跨超静定梁中点K点的竖向位移,M图,图,例题5-16 计算刚架CB杆中点K点的竖向位移,M图,图,5.6.2超静定结构内力图校核,一、平衡条件的校核,要满足整体平衡条件和局部平衡条件,水平力不平衡,二、位移条件的校核,